妻は、去年の6月一杯で職場を退職し、失業保険を受給していました。前述の持ち物と、ご質問の内容の給与明細も合わせて、年金事務所でご相談されてください。

扶養手続きについて教えてください。
現在、結婚1年目の26歳の夫婦です。妻は、去年の6月一杯で職場を退職し、失業保険を受給していました。
受給後、私の全国土木建築国民健康保険に被保険者として加入しました。
その時に扶養手続きは行われていなかったようで、今年4月に年金の請求書が自宅に届きました。
今日会社に問い合わせた所、個人の配偶者までは管理できないので自ら社会保険事務所（年金事務所）にいって手続きしてくださいと言われ、困っています。
いまいち制度を理解していない為、会社にも強く言えないのですが、本来であれば私の健康保険に入ったときに同時に第三号被保険者該当届の提出等、会社の総務部等で手続きするものではないのでしょうか？
また、現時点で行うこととしては、今年1月より妻はアルバイトのみの生活なので、直近3ヵ月の給与明細をもって社会保険事務所に行って手続きすればよいのでしょうか？
いろいろ教えてください。よろしくお願いします。

全国土木建築国保で被保険者ですから、奥さまは被扶養者ではないですよね？

それから質問者さんは厚生年金加入者でしょうか？
健康保険組合の場合は、被扶養者の手続きと同時に行うのですが、厚生年金と国保組合の組み合わせの場合、第三号被保険者の手続きは会社経由で行わないケースもあります。

質問者さんが厚生年金加入中であれば、第三号被保険者には該当すると思いますので、まずは住所地を管轄する年金事務所でご相談ください。
その際にはご夫婦の基礎年金番号がわかるもの(年金手帳など)と、失業保険の終了がわかりょうに雇用保険受給資格者証、そして健康保険証(健康保険加入状況を説明するため)を持参してください。

補足の件
質問者さんが厚生年金ならば、奥さまは月収が108,333円(130万円の12ヶ月分の1)であれば、第三号被保険者になれると思います。遡りもできますし、失業給付の日額によっては、失業給付受給中も該当するかもしれません。
前述の持ち物と、ご質問の内容の給与明細も合わせて、年金事務所でご相談されてください。

失業保険の失業の認定を受けようとする期間労働したかしてないとありますが、４時間以上ならхで４時間以内なら丸とかってありますが、以上以下で何か違うのですか？

もし４時間以上だって、失業保険の金額は、どうなるんですか？

１日４時間以上の労働を短期に渡ってした場合『就労』という扱いになり、働いた日は手当て支給の対象にはなりません。

１日４時間以下の労働を短期に渡ってした場合は『内職・手伝い』という扱いで、手当ての支給はその労働の収入額によって決められます。

また、長期に渡ってアルバイト等をした場合は『就職』という扱いになってしまい、（非番の日も含めて）採用日から退職日までのすべてが手当て支給の対象外になってしまいます。

いずれの場合でも、労働によって手当ての支給が行われなかった日はその支給日を先送りにできるので、もらえる手当ての合計金額は変わりません。
（労働した分だけ、手当てを満額もらえるまでの日が先に伸びるという意味です）

…というのが認定期間中の労働の説明ですが、認定期間中であっても手当ての支給に影響の無い場合もありますので、ハローワークで直接相談するといいと思います。

退職理由と失業保険の給付についてアドバイス下さい。
当初解雇という形なのに会社側は自己都合の退社という事にするのでと ※会社が作成した退職届※ にサイン捺印しろ
と書類をだしてきました。当然拒否しましたが、今度は退職勧奨なるものを出してきたのですが、ネットで少し調べたところ
失業保険はすぐ出るようですし問題なさそうなのですが、その文面に「6ヶ月の試用期間満了（7月31日）後、会社提示の
更新条件（賃金）が折り合わず、会社の退職勧奨を受け1ヶ月の引継ぎ期間終了後、退職いたします。」となっています。
この内容でも失業保険には影響せずに通常通りもらえるのでしょうか？
何分先が決まっていないもので、不安要素ばかりですのでよろしくお願いいたします。

この書き方だと、単に「契約期間が満了しただけ」ということに持って行くつもりではないかな、と思えますが？

※そもそも
〉会社提示の更新条件（賃金）が折り合わず
これが事実でないのなら合意すべきものではないんですが。

離職理由は、離職票になんと書いてあるかが問題でして、その上で双方の言い分が食い違えば客観的な資料が問題になります。

通常、試用期間は、期間の定めのない契約や長期の契約を結んだ上で、「最初の６ヶ月は試用期間とする」という決め方ですね？
ところが、この文章だと、「試用期間にあたる6ヶ月間の契約しか結んでおらず、期間満了時に改めて契約条件について話し合い、本契約をする」ということになっていたことになります。

それだと、離職理由は単に「期間満了」ということになりますね。

失業保険について質問お願い致します。
失業保険を受給する際に求職活動をしている証明？
をしなくてはいけなかったと思うのですがそれはハローワークで紹介された先に面接に行かなくてはいけないということでしょうか？
色々自分なりに調べたつもりなのですが具体的な手続きがよくわからなかったのでお手数ですがご回答宜しくお願い致します。

求職活動は地域によって多少の差があります。
ＨＷにあるＰＣの検索で、用紙にハンコをもらえばいいところもありますし、ＰＣの検索ではダメなところもあります。（私の場合がそうでした）また、ＨＷの紹介でなくてもいいですがどこの企業に応募して、面接をしたかが分かるように認定日に申告する書類に書かなければなりません。
それと私の場合は認定日にチャンと行けば「職業相談」というハンコを押してくれて活動１回に数えてもらえました。
いずれにしても「受給資格者のしおり」に書いてあることを見ることが必要です。
余談ですが、「失業保険について質問お願い致します」という文章はおかしくないですか？回答お願い致しますでは？

失業保険についての質問です。現在躁うつ病で4回目の休職中です。休職期間はまだありますが、会社に迷惑かけたくないし、自分自身も自信がないので3月末で退職するつもりです。自己都合退職となりますが
「特定理由離職者」にならないのでしょうか？
また医師の就労可否証明書にはなんとかいてもらえばよいですか？
ちなみに再就職の意思はあります。

「特定理由離職者」として退職した場合（つまり離職票に「病気退職」と記載される）、治癒した証明を職安に提出しなければ失業給付は受けられません。
その理由は、失業給付の趣旨が「働く意思と能力がありながら職業に就くことができない者に給付」するものだからです。病気退職し、治癒していない人は、働く意思があっても「働く能力がない」と見なされるため、失業給付の対象になりません。
失業給付を受けるためには、人事担当に「自己都合にしてくれ」とお願いするしかありません。また、離職票の内容は原則として本人の承認印が必要ですので、人事担当に「どうでも病気退職にする」と言われれば承認印を押さずに職安の失業給付申請に離職票を持っていくときに「承服できない」旨申し出る等の手はあるかもしれません（ただ、現実完治していなければ難しいかも知れませんが）。